Ghid Practic - Proprietățile Integralei Definite

1. Liniaritatea și Aditivitatea

Esențial: Această proprietate ne permite să "spargem" integrala în punctele unde funcția își schimbă definiția (modul, funcții pe ramuri, min/max). $$ \int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx, \quad \forall c \in (a,b) $$

1.1. Funcții definite pe ramuri

Calculați $ I = \int_{0}^{3} f(x) dx $, unde $ f(x) = \begin{cases} x^2, & x \in [0, 1] \\ 2x - 1, & x \in (1, 3] \end{cases} $.

Despărțim integrala în punctul $x=1$: $$ I = \int_{0}^{1} x^2 dx + \int_{1}^{3} (2x - 1) dx $$ $$ I = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 + \left[ x^2 - x \right]_1^3 = \frac{1}{3} + (9-3) - (1-1) = \frac{1}{3} + 6 = \frac{19}{3} $$

1.2. Funcții de tip Min/Max

Calculați $ I = \int_{-1}^{2} \min(x, x^3) dx $.

Comparăm $x$ cu $x^3$:

Pe $[-1, 0]$, $x < x^3$ e fals (ex: $-0.5 > -0.125$). Deci $\min = x$.
Pe $[0, 1]$, $x^3 \le x$. Deci $\min = x^3$.
Pe $[1, 2]$, $x \le x^3$. Deci $\min = x$.

$$ I = \int_{-1}^{0} x dx + \int_{0}^{1} x^3 dx + \int_{1}^{2} x dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_{-1}^0 + \left[\frac{x^4}{4}\right]_0^1 + \left[\frac{x^2}{2}\right]_1^2 $$ $$ I = (0 - \frac{1}{2}) + \frac{1}{4} + (2 - \frac{1}{2}) = -\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{3}{2} = \frac{5}{4} $$

1.3. Integrale cu Modul

Calculați $ I = \int_{0}^{3} |x^2 - 3x + 2| dx $.

Ecuația $x^2 - 3x + 2 = 0$ are rădăcinile $x_1=1, x_2=2$. Semnul se schimbă între rădăcini. $$ |x^2-3x+2| = \begin{cases} x^2-3x+2, & x \in [0,1] \cup [2,3] \\ -(x^2-3x+2), & x \in (1,2) \end{cases} $$ Integrala devine sumă de 3 integrale: $$ I = \int_0^1 (x^2-3x+2)dx - \int_1^2 (x^2-3x+2)dx + \int_2^3 (x^2-3x+2)dx $$ Calculând primitivele, obținem $I = \frac{5}{6} - (-\frac{1}{6}) + \frac{5}{6} = \frac{11}{6}$.

1.4. .. din nou modul

Calculați $ I = \int_{0}^{2\pi} |\sin x| dx $.

Funcția $\sin x$ este pozitivă pe $[0, \pi]$ și negativă pe $(\pi, 2\pi]$. $$ I = \int_{0}^{\pi} \sin x dx + \int_{\pi}^{2\pi} (-\sin x) dx $$ $$ I = [-\cos x]_0^\pi - [-\cos x]_\pi^{2\pi} $$ $$ I = (-\cos\pi + \cos 0) - (-\cos 2\pi + \cos \pi) $$ $$ I = (1+1) - (-1 - 1) = 2 - (-2) = 4 $$

1.5. Determinarea unui parametru

Determinați $a \in \mathbb{R}$ astfel încât $\int_0^2 |x-a| dx = 1$.

Presupunem $a \in (0,2)$. Desfacem integrala în $a$: $$ \int_0^a (a-x)dx + \int_a^2 (x-a)dx = 1 $$ Calculând ariile (triunghiuri): $\frac{a^2}{2} + \frac{(2-a)^2}{2} = 1 $. $$ a^2 + 4 - 4a + a^2 = 2 \Rightarrow 2a^2 - 4a + 2 = 0 \Rightarrow 2(a-1)^2 = 0 $$ Rezultă $a = 1$.
Celelalte 2 intervale posibile pentru parametrul a sunt lăsate ca exercițiu

2. Monotonia Integralei Definite

Teorie: Dacă $f(x) \le g(x)$ pentru orice $x \in [a, b]$ (cu $a < b$), atunci: $$ \int_a^b f(x) dx \le \int_a^b g(x) dx $$ În particular, dacă $f(x) \ge 0$, atunci $\int_a^b f(x) dx \ge 0$.

2.1. Compararea șirurilor (Integrale neelementare)

Fie șirul definit prin $I_n = \int_0^1 \sin(x^n) dx$, pentru $n \in \mathbb{N}^*$. Fără a calcula integrala, arătați că șirul $(I_n)$ este descrescător.

Pentru a studia monotonia, comparăm funcțiile de sub integrală pentru $n$ și $n+1$.

1. Pentru orice $x \in (0, 1)$, avem $x^{n+1} < x^n$.

2. Deoarece $x \in (0, 1)$, valorile $x^n$ se află în intervalul $(0, 1) \subset [0, \frac{\pi}{2}]$.

3. Pe intervalul $[0, \frac{\pi}{2}]$, funcția $\sin(t)$ este strict crescătoare, deci păstrează sensul inegalității:

$$ \sin(x^{n+1}) < \sin(x^n) $$

Integrând inegalitatea pe intervalul $[0, 1]$, obținem:

$$ \int_0^1 \sin(x^{n+1}) dx < \int_0^1 \sin(x^n) dx \Rightarrow I_{n+1} < I_n $$

2.2. Inegalitate exponențială

Arătați că $ \int_0^1 e^{x^2} dx \ge 1 $.

Știm că $x^2 \ge 0$ pentru orice $x$. Funcția exponențială este crescătoare, deci $e^{x^2} \ge e^0 = 1$. Integrăm pe $[0, 1]$: $$ \int_0^1 e^{x^2} dx \ge \int_0^1 1 dx = 1 $$

2.3. Compararea a două funcții

Fără a calcula, comparați $ I = \int_0^{\pi/2} \sin^3 x \, dx $ și $ J = \int_0^{\pi/2} \sin^5 x \, dx $.

Pe intervalul $(0, \pi/2)$, avem $\sin x \in (0, 1)$. Ridicând un număr subunitar la o putere mai mare, acesta scade. $$ \sin^5 x < \sin^3 x $$ Prin urmare, $ J < I $.

2.4. Stabilirea semnului

Fie $I = \int_{-1}^1 \ln(x^2+1) dx$. Fără calcul, stabiliți semnul lui $I$.

Avem $x^2 \ge 0 \Rightarrow x^2+1 \ge 1$. Aplicând logaritmul (funcție crescătoare): $\ln(x^2+1) \ge \ln 1 = 0$. Deoarece funcția de sub integrală este pozitivă pe tot intervalul (și nu este identic nulă), integrala este strict pozitivă. $I > 0$.

2.5. Inegalitate clasică

Demonstrați că $\int_0^1 \frac{1}{x+1} dx < \int_0^1 \frac{1}{x^2+1} dx$.

Pe intervalul $(0, 1)$, avem $x > x^2$. Adunând 1: $x+1 > x^2+1$. Inversând fracțiile (funcția $1/t$ e descrescătoare pe pozitiv): $\frac{1}{x+1} < \frac{1}{x^2+1}$. Integrând pe $[0, 1]$ obținem inegalitatea cerută.

3. Mărginirea Integralei Definite

Metodă: Dacă $m \le f(x) \le M$ pe $[a, b]$, atunci: $$ m(b-a) \le \int_a^b f(x) dx \le M(b-a) $$ Pentru a găsi $m$ și $M$, folosim derivata și tabelul de variație.

3.1. Estimare simplă (Funcție Monotonă)

Demonstrați că $ 2 \le \int_{0}^{1} \sqrt{x^2+4} \, dx \le \sqrt{5} $.

Funcția $f(x)=\sqrt{x^2+4}$ este strict crescătoare pe $[0,1]$. Minimul este $f(0)=2$, Maximul este $f(1)=\sqrt{5}$. Lungimea intervalului este $1-0=1$. $$ 2 \cdot 1 \le I \le \sqrt{5} \cdot 1 $$

3.2. Vârf în interiorul intervalului

Arătați că $ 0 \le \int_{0}^{2} \frac{x}{x^2+1} dx \le 1 $.

Studiem $f(x) = \frac{x}{x^2+1}$. Derivata $f'(x) = \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$. Rădăcina derivatei este $x=1 \in [0,2]$.
Tabel de variație: $0 \nearrow f(1)=1/2 \searrow f(2)=2/5$.
Maxim global $M = 1/2$. Minim global $m = 0$. $$ 0 \cdot 2 \le I \le \frac{1}{2} \cdot 2 \Rightarrow 0 \le I \le 1 $$

3.3. Funcție exponențială

Arătați că $ 0 \le \int_{0}^{2} x e^{-x} dx \le \frac{2}{e} $.

Studiem $f(x)=xe^{-x}$. $f'(x) = e^{-x}(1-x)$. Maxim în $x=1$, $f(1)=1/e$. Minim în $x=0$, $f(0)=0$. $$ m(b-a) \le I \le M(b-a) \Rightarrow 0 \le I \le \frac{1}{e} \cdot 2 = \frac{2}{e} $$

3.4. Estimare cu arc tangentă

Demonstrați că $\frac{\pi}{4} \le \int_0^1 \frac{1}{x^2+1} dx \le 1$.

Funcția $f(x) = \frac{1}{x^2+1}$ este strict descrescătoare pe $[0,1]$. Maxim $f(0)=1$. Minim $f(1)=1/2$. Estimarea grosieră ne dă $0.5 \le I \le 1$. Calculul exact: $ I = \arctan 1 - \arctan 0 = \frac{\pi}{4} \approx 0.78 $. Deoarece $\pi/4 < 1$ și $\pi/4 > 0.5$, inegalitatea cerută este adevărată (prin calcul direct). Dacă se cerea strict prin mărginire: $ \frac{1}{2} \le I \le 1 $.

3.5. Estimare integrală Gaussiană (trunchiată)

Arătați că $\frac{1}{e} \le \int_0^1 e^{-x^2} dx \le 1$.

Fie $f(x) = e^{-x^2}$. Deoarece $x^2$ crește pe $[0,1]$, $e^{-x^2}$ scade. Maxim: $f(0) = e^0 = 1$. Minim: $f(1) = e^{-1} = 1/e$. Lungimea intervalului este 1. $$ \frac{1}{e} \cdot 1 \le I \le 1 \cdot 1 $$

4. Teorema de Medie

Teorema: Dacă $f$ este continuă pe $[a, b]$, există $c \in (a, b)$ astfel încât: $$ \int_a^b f(x) dx = (b-a)f(c) $$ Valoarea $\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx$ se numește valoarea medie a funcției.

4.1. Valoarea medie simplă

Aflați valoarea medie a funcției $f(x) = 3x^2 + 2x$ pe intervalul $[0, 2]$.

$$ \text{Valoare Medie} = \frac{1}{2-0} \int_0^2 (3x^2+2x) dx $$ $$ = \frac{1}{2} \left[ x^3 + x^2 \right]_0^2 = \frac{1}{2} (8+4) = \frac{12}{2} = 6 $$

4.2. Determinarea punctului c

Pentru $f(x) = x$ pe $[0, 2]$, găsiți $c$ din teorema de medie.

Calculăm integrala: $\int_0^2 x dx = 2$. Egalitatea din teoremă: $2 = (2-0) \cdot f(c) \Rightarrow 2 = 2c \Rightarrow c=1$.

4.3. Punctul c pentru funcție radical

Găsiți $c \in (0,3)$ pentru $f(x) = \sqrt{x+1}$.

$$ \int_0^3 (x+1)^{1/2} dx = \left. \frac{2}{3}(x+1)^{3/2} \right|_0^3 = \frac{2}{3}(8 - 1) = \frac{14}{3} $$ Teorema: $\frac{14}{3} = (3-0)\sqrt{c+1} \Rightarrow \frac{14}{9} = \sqrt{c+1}$. Ridicăm la pătrat: $\frac{196}{81} = c+1 \Rightarrow c = \frac{115}{81} \approx 1.41 \in (0,3)$.

4.4. Valoarea medie a funcției sinus

Calculați valoarea medie a funcției $\sin x$ pe $[0, \pi]$.

$$ \mu = \frac{1}{\pi-0} \int_0^\pi \sin x dx = \frac{1}{\pi} [-\cos x]_0^\pi $$ $$ = \frac{1}{\pi} (-(-1) - (-1)) = \frac{2}{\pi} \approx 0.63 $$

4.5. Teoretic

Dacă $\int_a^b f(x) dx = 0$ și $f$ este continuă și nenulă, demonstrați că ecuația $f(x)=0$ are cel puțin o soluție în $(a, b)$.

Din teorema de medie, $\exists c \in (a, b)$ astfel încât $\int_a^b f(x) dx = (b-a)f(c)$. Cum integrala este 0 și $b-a \ne 0$, rezultă obligatoriu $f(c) = 0$. Deci $c$ este rădăcina căutată.

5. Paritate și Simetrie

Regulă pe interval simetric $[-a, a]$:
1. Dacă $f$ este impară ($f(-x)=-f(x)$), $\int_{-a}^a f(x) dx = 0$.
2. Dacă $f$ este pară ($f(-x)=f(x)$), $\int_{-a}^a f(x) dx = 2\int_0^a f(x) dx$.

5.1. Funcție impară ascunsă

Calculați $ I = \int_{-1}^{1} \frac{x^4}{e^x + 1} dx $.

Acesta este un caz clasic unde funcția nu e nici pară, nici impară, dar se rezolvă prin substituția $x = -t$. Se ajunge la $2I = \int_{-1}^1 x^4 dx$. $$ I = \int_0^1 x^4 dx = \frac{1}{5} $$

5.2. Funcție impară standard

Calculați $\int_{-2}^2 (x^3 + \sin x) dx$.

Funcția $f(x) = x^3 + \sin x$ este impară (sumă de funcții impare). $f(-x) = (-x)^3 + \sin(-x) = -x^3 - \sin x = -f(x)$. Intervalul fiind simetric, integrala este $0$.

5.3. Logaritm compus (Impar)

Calculați $I = \int_{-1}^1 \ln\left(\frac{2-x}{2+x}\right) dx$.

Verificăm paritatea: $f(-x) = \ln\left(\frac{2+x}{2-x}\right) = \ln\left(\left(\frac{2-x}{2+x}\right)^{-1}\right) = -\ln\left(\frac{2-x}{2+x}\right) = -f(x)$. Funcția este impară, interval simetric $\Rightarrow I = 0$.

5.4. Funcție Pară (Modul)

Calculați $\int_{-2}^2 |x| dx$.

$|x|$ este funcție pară. $$ I = 2 \int_0^2 x dx = 2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^2 = 2(2-0) = 4 $$

5.5. Produs par * impar

Calculați $\int_{-\pi}^\pi \cos x \cdot \sin^3 x dx$.

$\cos x$ este pară. $\sin^3 x$ este impară. Produsul unei funcții pare cu una impară este o funcție impară. Rezultatul este $0$.