Fișă de lucru - Recapitulare - Integrarea Funcțiilor Raționale

Schimbarea de variabilă/ & Descompunerea în Fracții Simple
Clasa a XII-a • Analiză Matematică

1. Formule Imediate și Substituții Simple

Formule esențiale:

#1

\( \int_0^1 \frac{1}{x+2} dx \)

#2

\( \int_0^1 \frac{2x}{x^2+1} dx \)

#3

\( \int_0^1 \frac{1}{x^2+1} dx \)

#4

\( \int_0^2 \frac{1}{x^2+4} dx \)

#5

\( \int_1^2 \frac{1}{(x+1)^2} dx \)

#6

\( \int_2^3 \frac{1}{x^2-1} dx \)

#7

\( \int_0^1 \frac{x}{x^2+1} dx \)

#8

\( \int_0^1 \frac{x^2}{x^3+1} dx \)

#9

\( \int_0^1 \frac{x}{x^4+1} dx \)

#10

\( \int_0^1 \frac{1}{x^2+2x+2} dx \)

#11

\( \int_0^1 \frac{2x+3}{x^2+3x+4} dx \)

#12

\( \int_1^e \frac{1}{x(1+\ln^2 x)} dx \)

#13

\( \int_0^1 \frac{x+1}{x^2+1} dx \)

#14

\( \int_2^4 \frac{1}{x^2-3} dx \)

#15

\( \int_1^2 \frac{2x+1}{x^2+x+1} dx \)
Nr. Metoda / Substituția Rezultat Final
#1Formula \( \ln|u| \)\( \ln(1.5) \) sau \( \ln 3 - \ln 2 \)
#2\( t = x^2+1 \) (numărătorul e derivata)\( \ln 2 \)
#3Formula \( \arctan x \)\( \pi/4 \)
#4Formula cu \( a=2 \)\( \pi/8 \)
#5Formula puterii \( (x+1)^{-2} \)\( 1/6 \)
#6Formula \( \frac{1}{2a} \ln \frac{x-a}{x+a} \)\( \frac{1}{2}\ln 1.5 \)
#7Amplificăm cu 2 \(\to t=x^2+1\)\( \frac{1}{2}\ln 2 \)
#8Amplificăm cu 3 \(\to t=x^3+1\)\( \frac{1}{3}\ln 2 \)
#9Substituție \( t=x^2 \)\( \pi/8 \)
#10Formare pătrat: \( (x+1)^2+1 \)\( \arctan 2 - \pi/4 \)
#11\( t = x^2+3x+4 \)\( \ln 2 \)
#12\( t = \ln x \)\( \pi/4 \)
#13Desparte în \( \frac{x}{x^2+1} + \frac{1}{x^2+1} \)\( \frac{1}{2}\ln 2 + \frac{\pi}{4} \)
#14Formula cu \( a=\sqrt{3} \)\( \frac{1}{2\sqrt{3}} \ln \frac{9-2\sqrt{3}}{3} \)
#15\( t = x^2+x+1 \)\( \ln(7/3) \)

2. Descompunerea în Fracții Simple

Algoritmul de lucru:
  1. Verifică dacă \( \text{grad}(Numărător) < \text{grad}(Numitor) \). Dacă nu, efectuează împărțirea.
  2. Factorizează numitorul (rădăcini reale simple, multiple, sau complexe).
  3. Scrie forma descompunerii:
    • Pt. rădăcină reală simplă \( (x-a) \): termenul \( \frac{A}{x-a} \).
    • Pt. rădăcină reală multiplă \( (x-a)^k \): termeni \( \frac{A_1}{x-a} + \dots + \frac{A_k}{(x-a)^k} \).
    • Pt. factor de grad 2 ireductibil \( (x^2+ax+b) \) cu \(\Delta < 0\): termenul \( \frac{Mx+N}{x^2+ax+b} \).
  4. Află coeficienții \( A, B, M, N \dots \) și integrează fiecare termen separat.

#1

\( \int_2^3 \frac{1}{x^2-x} dx \)

#2

\( \int_0^1 \frac{1}{(x+1)(x+2)} dx \)

#3

\( \int_0^1 \frac{2x+1}{(x+1)(x+2)} dx \)

#4

\( \int_0^1 \frac{x+3}{x^2+3x+2} dx \)

#5

\( \int_{-1}^0 \frac{1}{x^2+5x+6} dx \)

#6

\( \int_2^3 \frac{x^2}{x^2-1} dx \)

#7

\( \int_1^2 \frac{1}{x(x^2+1)} dx \)

#8

\( \int_1^2 \frac{4}{x^3+4x} dx \)

#9

\( \int_0^1 \frac{x+1}{(x+2)^2} dx \)

#10

\( \int_2^3 \frac{3x-2}{x^2-2x+1} dx \)

#11

\( \int_3^4 \frac{5x-1}{x^2+x-6} dx \)

#12

\( \int_2^3 \frac{x^2+1}{x-1} dx \)

#13

\( \int_0^1 \frac{1}{x^2+4x+3} dx \)

#14

\( \int_1^2 \frac{1}{x(x+1)(x+2)} dx \)

#15

\( \int_0^1 \frac{1}{(x+1)(x^2+1)} dx \)
Nr. Descompunerea / Metoda Rezultat Final
#1\( \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x} \)\( \ln(4/3) \)
#2\( \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2} \)\( \ln(4/3) \)
#3\( \frac{-1}{x+1} + \frac{3}{x+2} \)\( 3\ln 3 - 4\ln 2 \)
#4\( \frac{2}{x+1} - \frac{1}{x+2} \)\( \ln(8/3) \)
#5\( \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3} \)\( \ln(4/3) \)
#6Împărțire polinoame: \( 1 + \frac{1}{x^2-1} \)\( 1 + \frac{1}{2}\ln(1.5) \)
#7\( \frac{1}{x} - \frac{x}{x^2+1} \)\( \ln 2 - \frac{1}{2}\ln(5/2) \)
#8\( \frac{1}{x} - \frac{x}{x^2+4} \)\( \ln 2 - \frac{1}{2}\ln(8/5) \)
#9Rădăcini multiple: \( \frac{1}{x+2} - \frac{1}{(x+2)^2} \)\( \ln(1.5) - 1/6 \)
#10Numitor \( (x-1)^2 \). Descomp: \( \frac{3}{x-1} + \frac{1}{(x-1)^2} \)\( 3\ln 2 - 1/2 \)
#11\( \frac{2.8}{x-2} + \frac{2.2}{x+3} \)\( 2.8\ln 2 + 2.2\ln(7/6) \)
#12Împărțire: \( x + 1 + \frac{2}{x-1} \)\( 3.5 + 2\ln 2 \)
#13Numitor \( (x+1)(x+3) \)\( \frac{1}{2}\ln(1.5) \)
#14\( \frac{1}{2x} - \frac{1}{x+1} + \frac{1}{2(x+2)} \)\( \frac{1}{2}\ln(4/3) \)
#15Caz ireductibil: \( \frac{1/2}{x+1} + \frac{-0.5x + 0.5}{x^2+1} \)\( \frac{1}{4}\ln 2 + \frac{\pi}{8} \)