Fișă de lucru - Recapitulare - Metode de Calcul Integral

Schimbarea de variabilă & Integrarea prin părți

Clasa a XII-a • Analiză Matematică

1. Metoda Schimbării de Variabilă

Algoritmul de lucru:

Se alege substituția potrivită $ t = g(x) $.
Se calculează diferențiala $ dt = g'(x)dx $.
Se schimbă limitele de integrare: $ x=a \to t=g(a) $ și $ x=b \to t=g(b) $.
Se calculează integrala în noua variabilă $t$.

#1

$ \int_0^1 (2x+1)^3 dx $

#2

$ \int_0^1 x(x^2+1)^3 dx $

#3

$ \int_1^e \frac{\ln x}{x} dx $

#4

$ \int_0^1 \frac{e^x}{1+e^x} dx $

#5

$ \int_0^{\pi/2} \sin^2 x \cos x dx $

#6

$ \int_0^1 \frac{1}{(x+1)^4} dx $

#7

$ \int_0^1 x e^{x^2} dx $

#8

$ \int_0^{\pi/2} \frac{\cos x}{1+\sin^2 x} dx $

#9

$ \int_1^4 \frac{1}{1+\sqrt{x}} dx $

#10

$ \int_0^1 \sqrt{1-x^2} dx $

#11

$ \int_1^e \frac{1}{x(1+\ln x)} dx $

#12

$ \int_0^{\pi/4} \tan x dx $

#13

$ \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} dx $

#14

$ \int_1^2 \frac{e^{1/x}}{x^2} dx $

#15

$ \int_0^1 \frac{x^2}{x^3+1} dx $

#16

$ \int_0^{\pi/3} \frac{\sin x}{\cos^3 x} dx $

#17

$ \int_1^e \frac{\sqrt{\ln x}}{x} dx $

#18

$ \int_0^1 x \sqrt{1-x} dx $

#19

$ \int_0^{\pi/2} \cos^3 x dx $

#20

$ \int_0^1 \frac{1}{1+e^x} dx $

#21

$ \int_0^1 \frac{\arctan x}{1+x^2} dx $

#22

$ \int_0^{\ln 2} \sqrt{e^x-1} dx $

#23

$ \int_0^{\pi/2} \sin 2x \cdot e^{\sin^2 x} dx $

#24

$ \int_e^{e^2} \frac{1}{x \ln^2 x} dx $

#25

$ \int_0^1 \frac{x^3}{1+x^8} dx $

#26

$ \int_0^1 (1-x^2)^{3/2} x dx $

#27

$ \int_2^3 \frac{x}{\sqrt{x^4-1}} dx $

#28

$ \int_0^{\pi} \sin^3 x dx $

#29

$ \int_1^e \frac{1}{x(1+\ln^2 x)} dx $

#30

$ \int_0^{\pi/4} \frac{1}{\cos^2 x (1+\tan x)} dx $

Nr.	Substituția Utilizată	Rezultat Final
#1	$ t = 2x+1 $	$ 10 $
#2	$ t = x^2+1 $	$ 15/8 $
#3	$ t = \ln x $	$ 1/2 $
#4	$ t = 1+e^x $	$ \ln((1+e)/2) $
#5	$ t = \sin x $	$ 1/3 $
#6	$ t = x+1 $	$ 7/24 $
#7	$ t = x^2 $	$ (e-1)/2 $
#8	$ t = \sin x $	$ \pi/4 $
#9	$ t = \sqrt{x} $	$ 2(1-\ln(3/2)) $
#10	$ x = \sin t $	$ \pi/4 $
#11	$ t = 1+\ln x $	$ \ln 2 $
#12	$ t = \cos x $	$ \ln\sqrt{2} $
#13	$ t = x^2+1 $	$ \sqrt{2}-1 $
#14	$ t = 1/x $	$ e - \sqrt{e} $
#15	$ t = x^3+1 $	$ \frac{1}{3}\ln 2 $
#16	$ t = \cos x $	$ 3/2 $
#17	$ t = \ln x $	$ 2/3 $
#18	$ t = 1-x $	$ 4/15 $
#19	$ \cos^3 x = (1-\sin^2 x)\cos x $, $ t=\sin x $	$ 2/3 $
#20	$ t = e^x $	$ 1 - \ln((e+1)/2) $
#21	$ t = \arctan x $	$ \pi^2/32 $
#22	$ t = \sqrt{e^x-1} $	$ 2 - \pi/2 $
#23	$ t = \sin^2 x $	$ e-1 $
#24	$ t=\ln x $	$ 1/2 $
#25	$ t = x^4 $	$ \pi/16 $
#26	$ t = 1-x^2 $	$ 1/5 $
#27	$ t = x^2 $	$ \frac{1}{2} \ln \frac{3 + \sqrt{8}}{2+\sqrt{3}} $ (sau formă simplificată)
#28	$ t = \cos x $	$ 4/3 $
#29	$ t = \ln x $	$ \pi/4 $
#30	$ t = \tan x $	$ \ln 2 $

2. Metoda Integrării prin Părți

$$ \int_a^b u(x) v'(x) dx = u(x)v(x)\bigg|_a^b - \int_a^b u'(x) v(x) dx $$

#1

$ \int_0^1 x e^x dx $

#2

$ \int_0^{\pi} x \sin x dx $

#3

$ \int_1^e x \ln x dx $

#4

$ \int_0^1 \arctan x dx $

#5

$ \int_1^e \ln x dx $

#6

$ \int_0^{\pi/2} x \cos x dx $

#7

$ \int_0^{1/2} \arcsin x dx $

#8

$ \int_0^1 x^2 e^x dx $

#9

$ \int_0^{\pi} x^2 \sin x dx $

#10

$ \int_1^e \ln^2 x dx $

#11

$ \int_0^1 (x^2+1)e^{2x} dx $

#12

$ \int_0^{\pi} x^2 \cos x dx $

#13

$ \int_0^{\pi} e^x \sin x dx $

#14

$ \int_0^{\pi/2} e^x \cos x dx $

#15

$ \int_1^e \cos(\ln x) dx $

#16

$ \int_1^e \frac{\ln x}{x^2} dx $

#17

$ \int_0^1 x \arctan x dx $

#18

$ \int_0^1 \frac{x}{\cos^2 x} dx $

#19

$ \int_1^{\sqrt{e}} x \ln^2 x dx $

#20

$ \int_0^{\pi} e^{-x} \sin x dx $

Nr.	Alegerea Părților / Tip	Rezultat Final
#1	$ u=x, v'=e^x $	$ 1 $
#2	$ u=x, v'=\sin x $	$ \pi $
#3	$ u=\ln x, v'=x $	$ \frac{e^2+1}{4} $
#4	$ u=\arctan x, v'=1 $	$ \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\ln 2 $
#5	$ u=\ln x, v'=1 $	$ 1 $
#6	$ u=x, v'=\cos x $	$ \pi/2 - 1 $
#7	$ u=\arcsin x, v'=1 $	$ \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 $
#8	Doi pași ($u=x^2 \to u=2x$)	$ e - 2 $
#9	Doi pași ($u=x^2 \to u=2x$)	$ \pi^2 - 4 $
#10	Doi pași ($u=\ln^2 x \to u=\ln x$)	$ e - 2 $
#11	Doi pași (Exponențială cu coef.)	$ \frac{1}{4}(e^2+1) $
#12	Doi pași	$ -2\pi $
#13	Circulară (se notează I)	$ \frac{e^\pi + 1}{2} $
#14	Circulară	$ \frac{e^{\pi/2}-1}{2} $
#15	Circulară (după subst. sau direct)	$ \frac{e(\cos 1 + \sin 1) - 1}{2} $
#16	$ u=\ln x, v'=x^{-2} $	$ 1 - 2/e $
#17	$ u=\arctan x, v'=x $	$ \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} $
#18	$ u=x, v'=1/\cos^2 x $	$ \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\ln 2 $
#19	$ u=\ln^2 x, v'=x $	$ \frac{e}{4} - \frac{1}{4} $
#20	Circulară	$ \frac{1 + e^{-\pi}}{2} $

Nr.	Substituția Utilizată	Rezultat Final
#1	\( t = 2x+1 \)	\( 10 \)
#2	\( t = x^2+1 \)	\( 15/8 \)
#3	\( t = \ln x \)	\( 1/2 \)
#4	\( t = 1+e^x \)	\( \ln((1+e)/2) \)
#5	\( t = \sin x \)	\( 1/3 \)
#6	\( t = x+1 \)	\( 7/24 \)
#7	\( t = x^2 \)	\( (e-1)/2 \)
#8	\( t = \sin x \)	\( \pi/4 \)
#9	\( t = \sqrt{x} \)	\( 2(1-\ln(3/2)) \)
#10	\( x = \sin t \)	\( \pi/4 \)
#11	\( t = 1+\ln x \)	\( \ln 2 \)
#12	\( t = \cos x \)	\( \ln\sqrt{2} \)
#13	\( t = x^2+1 \)	\( \sqrt{2}-1 \)
#14	\( t = 1/x \)	\( e - \sqrt{e} \)
#15	\( t = x^3+1 \)	\( \frac{1}{3}\ln 2 \)
#16	\( t = \cos x \)	\( 3/2 \)
#17	\( t = \ln x \)	\( 2/3 \)
#18	\( t = 1-x \)	\( 4/15 \)
#19	\( \cos^3 x = (1-\sin^2 x)\cos x \), \( t=\sin x \)	\( 2/3 \)
#20	\( t = e^x \)	\( 1 - \ln((e+1)/2) \)
#21	\( t = \arctan x \)	\( \pi^2/32 \)
#22	\( t = \sqrt{e^x-1} \)	\( 2 - \pi/2 \)
#23	\( t = \sin^2 x \)	\( e-1 \)
#24	\( t=\ln x \)	\( 1/2 \)
#25	\( t = x^4 \)	\( \pi/16 \)
#26	\( t = 1-x^2 \)	\( 1/5 \)
#27	\( t = x^2 \)	\( \frac{1}{2} \ln \frac{3 + \sqrt{8}}{2+\sqrt{3}} \) (sau formă simplificată)
#28	\( t = \cos x \)	\( 4/3 \)
#29	\( t = \ln x \)	\( \pi/4 \)
#30	\( t = \tan x \)	\( \ln 2 \)

Nr.	Alegerea Părților / Tip	Rezultat Final
#1	\( u=x, v'=e^x \)	\( 1 \)
#2	\( u=x, v'=\sin x \)	\( \pi \)
#3	\( u=\ln x, v'=x \)	\( \frac{e^2+1}{4} \)
#4	\( u=\arctan x, v'=1 \)	\( \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\ln 2 \)
#5	\( u=\ln x, v'=1 \)	\( 1 \)
#6	\( u=x, v'=\cos x \)	\( \pi/2 - 1 \)
#7	\( u=\arcsin x, v'=1 \)	\( \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 \)
#8	Doi pași (\(u=x^2 \to u=2x\))	\( e - 2 \)
#9	Doi pași (\(u=x^2 \to u=2x\))	\( \pi^2 - 4 \)
#10	Doi pași (\(u=\ln^2 x \to u=\ln x\))	\( e - 2 \)
#11	Doi pași (Exponențială cu coef.)	\( \frac{1}{4}(e^2+1) \)
#12	Doi pași	\( -2\pi \)
#13	Circulară (se notează I)	\( \frac{e^\pi + 1}{2} \)
#14	Circulară	\( \frac{e^{\pi/2}-1}{2} \)
#15	Circulară (după subst. sau direct)	\( \frac{e(\cos 1 + \sin 1) - 1}{2} \)
#16	\( u=\ln x, v'=x^{-2} \)	\( 1 - 2/e \)
#17	\( u=\arctan x, v'=x \)	\( \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \)
#18	\( u=x, v'=1/\cos^2 x \)	\( \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\ln 2 \)
#19	\( u=\ln^2 x, v'=x \)	\( \frac{e}{4} - \frac{1}{4} \)
#20	Circulară	\( \frac{1 + e^{-\pi}}{2} \)