Proprietățile Integralei Definite:
Monotonie și Mărginire

Mic ghid teoretic și practic

Clasa a 12-a, Analiză Matematică

1. Proprietatea de MONOTONIE a Integralei Definite

Intuiția fundamentală când discutăm despre integrala definită este legată de aria subgraficului unei funcții. Dacă graficul unei funcții g este "mai sus" decât al unei functii f, aria de sub graficul functiei g va fi, la rândul ei mai mare, decât aria de sub graficul funcției f, păstrând, deci, inegalitatea dintre funcții

Grafic reprezentând monotonia integralelor — Fig 1. Vizualizarea inegalității ariilor pentru două funcții.

Mai specific:
Dacă $ f(x) \le g(x) $ pentru orice $ x \in [a, b] $ (unde $ a < b $), atunci: $$ \int_a^b f(x) \,dx \le \int_a^b g(x) \,dx $$

2. Proprietatea de MĂRGINIRE a Integralei Definite

De multe ori nu putem calcula valoarea unei integrale definite exact, dar o putem "prinde" între două margini(interval). Dacă știm cea mai mică valoare ($m$) și cea mai mare valoare ($M$) a funcției pe un interval, putem aproxima și aria.

Grafic reprezentând mărginirea integralei — Fig 2. Aria exactă (sub curbă - cu contur roșu) este prinsă între aria minimă (verde) și cea maximă.

Mai specific:
Fie $ m \le f(x) \le M $ pentru orice $ x \in [a, b] $. Atunci: $$ m(b-a) \le \int_a^b f(x) \,dx \le M(b-a) $$

Important de reținut!!!

Integrala definită păstrează sensul inegalității: Dacă $f \le g$, atunci integrala lui $f$ este mai mică decât a lui $g$.
Mărginirea integralei definite: Orice integrală este cuprinsă între $ \text{minim} \times \text{lungimea intervalului de integrare} $ și $ \text{maxim} \times \text{lungimea intervalului de integrare} $.
Aliasul lui 1/(n+1): $$ \lim_{n \to \infty} \int_0^1 x^n \,dx = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} = 0 $$

Metoda A - Mărginire - Construcția Algebrică

Folosită când putem construi inegalitatea pornind de la intervalul lui $x$.

Problema 1

Demonstrați că: $ \frac{1}{5} \le \int_0^2 \frac{1}{x+3} \,dx \le \frac{2}{3} $

Interval $ [0, 2] \Rightarrow 0 \le x \le 2 $.
Adunăm 3: $ 3 \le x+3 \le 5 $.
Inversăm: $ \frac{1}{5} \le \frac{1}{x+3} \le \frac{1}{3} $.
Integrăm pe lungimea 2: $ \frac{1}{5} \cdot 2 \le I \le \frac{1}{3} \cdot 2 $.

Problema 2

Demonstrați că: $ 1 \le \int_0^1 e^{x^2} \,dx \le e $

$ x \in [0, 1] \Rightarrow 0 \le x^2 \le 1 $.
Exponențiala e crescătoare: $ e^0 \le e^{x^2} \le e^1 $.
Integrăm pe interval de lungime 1: $ 1 \le I \le e $.

Problema 3

Demonstrați: $ 0 \le \int_0^1 \text{arctg}(x) \,dx \le \frac{\pi}{4} $

$ \text{arctg} $ este strict crescătoare.
Minim $ x=0 \Rightarrow 0 $. Maxim $ x=1 \Rightarrow \pi/4 $.
$ 0 \cdot 1 \le I \le \frac{\pi}{4} \cdot 1 $.

Problema 4

Demonstrați: $ \ln 2 \le \int_1^2 \ln(1+x^2) \,dx \le \ln 5 $

$ x \in [1, 2] \Rightarrow x^2 \in [1, 4] \Rightarrow 1+x^2 \in [2, 5] $.
Logaritmul păstrează ordinea: $ \ln 2 \le \ln(1+x^2) \le \ln 5 $.
Integrăm (lungime interval = 1).

Problema 5

Arătați că: $ \frac{\sqrt{2}}{2} \le \int_0^2 \frac{dx}{\sqrt{x^2+4}} \le 1 $

$ 0 \le x \le 2 \Rightarrow 4 \le x^2+4 \le 8 $.
Radical: $ 2 \le \sqrt{\dots} \le 2\sqrt{2} $.
Invers: $ \frac{1}{2\sqrt{2}} \le f(x) \le \frac{1}{2} $.
Înmulțim cu lungimea intervalului (2).

Metoda B - Mărginire - Studiul Funcției(Derivata, Tabel de Variație)

Folosim tabelul de variație pentru a găsi minimul ($m$) și maximul ($M$) absolut.

Problema 1

Demonstrați: $ 4 \le \int_0^2 (x^2 - 2x + 3) \,dx \le 6 $

$ f'(x) = 2x-2 $. Rădăcina $ x=1 $.
$ f(0)=3, f(1)=2 (min), f(2)=3 (max) $.
$ m=2, M=3 $. Lungime interval = 2.
$ 2 \cdot 2 \le I \le 3 \cdot 2 $.

Problema 2

Demonstrați: $ 0 \le \int_0^2 \frac{x}{x^2+1} \,dx \le 1 $

$ f'(x) $ are rădăcina în $ x=1 $.
$ f(0)=0 (min), f(1)=0.5 (max), f(2)=0.4 $.
$ 0 \le I \le 0.5 \cdot 2 $.

Problema 3

Demonstrați: $ 0 \le \int_1^{e^2} \frac{\ln x}{x} \,dx \le \frac{e^2-1}{e} $

Derivata se anulează în $ x=e $.
$ f(1)=0 (min), f(e)=1/e (max) $.
Lungime interval: $ e^2-1 $.
$ 0 \le I \le \frac{1}{e}(e^2-1) $.

Problema 4

Demonstrați: $ \frac{1}{4} - \frac{\pi}{12} \le \int_0^{1/2} (x - \arcsin x) \,dx \le 0 $

Derivata e negativă pe interval, funcția scade.
Maxim la $ x=0 \Rightarrow 0 $.
Minim la $ x=1/2 \Rightarrow 0.5 - \pi/6 $.
Înmulțim cu lungimea intervalului (0.5).

Problema 5

Demonstrați: $ 0 \le \int_0^2 x e^{-x} \,dx \le \frac{2}{e} $

$ f'(x) = e^{-x}(1-x) $. Rădăcina $ x=1 $.
$ f(0)=0, f(1)=1/e (max), f(2)=2/e^2 $.
$ m=0, M=1/e $. Lungime interval = 2.

Probleme Propuse pentru Exersare

Set extins: Probleme de calcul, mărginire, limite și șiruri de integrale.

A. Exerciții de antrenament (Mărginire & Limite Rapide)

1. Arătați că $ \frac{1}{2} \le \int_0^1 \frac{1}{x^2+1} \,dx \le 1 $

2. Demonstrați că $ 1 \le \int_0^1 \ln(x+e) \,dx \le \ln(1+e) $

3. Stabiliți semnul integralei $ I = \int_0^1 (x^3-x) \,dx $

4. Arătați că $ \int_0^1 \sqrt{1+x^3} \,dx \le \sqrt{2} $

5. Calculați $ \lim_{n \to \infty} \int_0^1 x^n \sin x \,dx $

6. Calculați $ \lim_{n \to \infty} \int_0^1 \frac{x^n}{x+3} \,dx $

7. Demonstrați că $ 0 \le \int_0^{\pi/2} \sin^n x \,dx \le \frac{\pi}{2} $

8. Calculați $ \lim_{n \to \infty} \int_0^1 \frac{n x^n}{x+1} \,dx $

9. Arătați că $ 2 \le \int_0^2 e^{x^2-2x} \,dx \le 2e $

10. Demonstrați că $ \int_1^e \frac{\ln x}{x} \,dx = \frac{1}{2} $

11. Arătați șirul $ I_n = \int_0^1 x^n e^x \,dx $ este descrescător.

12. Calculați $ \lim_{n \to \infty} \int_0^1 x^n \cos^2 x \,dx $

B. Probleme Structurate (Tip Examen)

13.

Se consideră șirul de integrale $ I_n = \int_0^1 \frac{x^n}{x+1} \,dx, \forall n \in \mathbb{N} $.

Calculați $ I_0 + I_1 $.
Demonstrați că $ (I_n)_{n \ge 0} $ este un șir monoton descrescător.
Calculați $ \lim_{n \to \infty} n \cdot I_n $.

14.

Fie $ I_n = \int_0^1 x^n e^{-x} \,dx, \forall n \in \mathbb{N}^* $.

Calculați $ I_1 $.
Demonstrați relația de recurență $ I_n = n I_{n-1} - \frac{1}{e} $.
Demonstrați că $ 0 \le I_n \le \frac{1}{n+1} $ și calculați limita șirului.

15.

Se consideră integrala $ I_n = \int_0^1 \frac{x^n}{\sqrt{x^2+1}} \,dx $.

Arătați că $ \frac{1}{\sqrt{2}(n+1)} \le I_n \le \frac{1}{n+1} $.
Calculați $ \lim_{n \to \infty} I_n $.
Calculați $ \lim_{n \to \infty} n \cdot I_n $.

1. $ 1 \le x^2+1 \le 2 $. Inversăm și integrăm.

2. Logaritmul e crescător. Min la x=0.

3. Negativ ($x^3 < x$ pe $(0,1)$).

4. $ 1 \le 1+x^3 \le 2 \Rightarrow \sqrt{2} \cdot 1 $.

5. 0 (Mărginire cu $ x^n $).

6. 0 (Mărginire cu $ x^n/3 $).

7. $ \sin x \le 1 $. Lungime interval $\pi/2$.

8. Limita este 1/2. (vezi probl. 13).

9. $ f(x)=e^{x^2-2x} $. Min în vârf (x=1).

10. Schimbare variabilă $ \ln x = t $.

11. $ x^{n+1} < x^n $, deci $ I_{n+1} < I_n $.

12. 0 (Clește, cosinus e mărginit).

13. a) $\ln 2$; b) Diferența $ < 0 $; c) $ 1/2 $.

14. a) $ 1 - 2/e $; c) 0.

15. b) 0; c) $ 1/\sqrt{2} $.