Interpretarea Geometrică a Numerelor Complexe

Clasa a 10-a, Matematică

Planul Complex (Planul lui Gauss)

Spre deosebire de numerele reale care pot fi reprezentate pe o singură dreaptă, numerele complexe necesită un plan pentru a fi vizualizate, deoarece au două componente: partea reală și partea imaginară.

Acest plan, numit Planul lui Gauss, este format din două axe perpendiculare:

  • Axa orizontală (Ox): Reprezintă partea reală (Axa Reală).
  • Axa verticală (Oy): Reprezintă partea imaginară (Axa Imaginară).

Fiecărui număr complex z = a + bi îi corespunde, în planul Gauss, un punct unic M(a,b).

z = Afixul punctului
M = Imaginea geometrică a lui z

De asemenea, numărului z i se asociază vectorul de poziție v = OM.

Reprezentarea geometrică a numărului complex z = a + bi în planul lui Gauss
Sursa imaginii: Wikipedia

1. Suma a două numere complexe

Dacă reprezentăm în planul Gauss afixele z1 și z2, atunci punctul Ms, care este imaginea geometrică a sumei z1 + z2, se găsește folosind regula paralelogramului.

Afixul celui de-al patrulea vârf al paralelogramului construit pe vectorii OM1 și OM2 este suma afixelor.

Suma = zs = z1 + z2
Exemplu: Fie z1 = 3 + 2i și z2 = 1 + 4i.
Adunând componentele:
zs = (3+1) + i(2+4) = 4 + 6i.
(Vezi vectorul verde din imagine)
Regula Paralelogramului pentru suma numerelor complexe
Imagine generată cu Gemini

2. Diferența a două numere complexe

Diferența z1 - z2 are o interpretare vizuală foarte utilă: este vectorul care pleacă din z2 și ajunge în z1.

Practic, dacă unim vârful vectorului z2 (scăzătorul) cu vârful vectorului z1 (descăzutul), obținem geometric reprezentarea diferenței.

Afixul vectorului M2M1 este z1 - z2
Exemplu: Fie z1 = 5 + 4i și z2 = 2 + i.
Diferența (vectorul de la z2 la z1):
z1 - z2 = (5 - 2) + i(4 - 1) = 3 + 3i.
Interpretarea geometrică a diferenței
Imagine generată cu Gemini

3. Modulul ca distanță între două puncte

Modulul unui număr complex |z| reprezintă lungimea segmentului OM (norma vectorului).

Generalizând, modulul diferenței afixelor a două puncte, |z2 - z1|, reprezintă distanța euclidiană dintre imaginile lor geometrice M1 și M2.

M1M2 = |z2 - z1|
Exemplu: Calculăm distanța dintre z1 = 2 + i și z2 = 6 + 4i.
Diferența: z2 - z1 = 4 + 3i.
Distanța este modulul diferenței:
|4 + 3i| = √(4² + 3²) = √25 = 5.
Modulul ca distanță în plan
Imagine generată cu Gemini

4. Condiția de coliniaritate a 3 puncte

Trei puncte A, B și C, având afixele z1, z2 și z3, sunt coliniare dacă și numai dacă vectorii AB și AC sunt coliniari.

Algebric, acest lucru înseamnă că raportul afixelor vectorilor (diferențele dintre afixele punctelor) trebuie să fie un număr real.

(z3 - z1) / (z2 - z1) ∈ ℝ
Exemplu: Fie punctele A(1+i), B(2+2i) și C(4+4i).
Vectorul AB: (2+2i)-(1+i) = 1+i.
Vectorul AC: (4+4i)-(1+i) = 3+3i.
Raportul: (3+3i) / (1+i) = 3 (Număr Real).
Puncte coliniare în planul complex
Imagine generată cu Gemini

5. Condiția de perpendicularitate

Fie 3 puncte A, B și C în planul Gauss, având afixele z1, z2 și z3 Dreapta AB este perpendiculară pe dreapta AC (unghiul din A este de 90°) dacă vectorii AB și AC sunt ortogonali.

Condiția, în numere complexe, este ca raportul afixelor celor doi vectori să fie un număr pur imaginar (partea sa reală să fie 0).

Re [ (z3 - z1) / (z2 - z1) ] = 0
Exemplu: Fie A(1+i). Mergem 2 unități la dreapta spre B(3+i) și 2 unități în sus spre C(1+3i).
zAB = 2; zAC = 2i.
Raportul: 2i / 2 = i (Pur imaginar).
Deci AB ⊥ AC.
Vectori perpendiculari în planul complex
Imagine generată cu Gemini