Planul complex (Gauss) și Afixul unui punct
1. Concepte Fundamentale
Fiecărui număr complex z = a + bi îi corespunde în planul complex un punct M(a,b)
z este afixul punctului M, iar M este imaginea geometrică a numărului complex z.
- Modulul numărului complex |z|: distanța OM = √(a² + b²).
- Distanța dintre două puncte A(z₁) și B(z₂): AB = |z₂ - z₁|.
- Mijlocul segmentului [AB]: z_M = (z₁ + z₂) / 2.
2. Condiții Geometrice Importante
Coliniaritate a 3 puncte A, B, C:
Punctele sunt coliniare dacă (zC - zA) / (zB - zA) ∈ ℝ (Număr Real).
Condiția de Perpendicularitate (AB ⊥ AC):
Dreptele sunt perpendiculare dacă (zC - zA) / (zB - zA) ∈ iℝ* (Imaginar Pur).
Condiția de Paralelism (AB || CD):
Dreptele sunt paralele dacă (z_D - z_C) / (z_B - z_A) ∈ ℝ*.
Condiția ca 4 puncte să formeze un Paralelogram (ABCD):
Afixele digonalalor verifică relația: z_A + z_C = z_B + z_D.
Exersare - Rezolvă și Verifică
Rezolvă problema, selectează răspunsul corect, apoi apasă butonul "Verifică".
1. Calculați lungimea segmentului AB, unde z_A = 2 - 3i și z_B = -2 + i.
Rezolvare:
1. Calculăm diferența afixelor: z_B - z_A = (-2 + i) - (2 - 3i) = -4 + 4i.
2. Calculăm modulul diferenței: AB = |-4 + 4i|.
3. AB = √((-4)² + 4²) = √(16 + 16) = √32 = 4√2.
2. Aflați afixul mijlocului M al segmentului determinat de z₁ = 4+2i și z₂ = 2+6i.
Rezolvare:
1. Formula mijlocului: z_M = (z₁ + z₂) / 2.
2. Înlocuim: z_M = (4 + 2i + 2 + 6i) / 2.
3. Calculăm: z_M = (6 + 8i) / 2 = 3 + 4i.
3. Se dau A(1+i), B(3), C(4+2i). Aflați z_D astfel încât ABCD să fie paralelogram.
Rezolvare:
1. Condiția de paralelogram (mijloacele diagonalelor coincid): z_A + z_C = z_B + z_D.
2. Exprimăm z_D: z_D = z_A + z_C - z_B.
3. Calcul: z_D = (1+i) + (4+2i) - 3 = 5 + 3i - 3 = 2 + 3i.
4. Verificați dacă punctele A(1+i), B(2+3i) și C(3+5i) sunt coliniare.
Rezolvare:
1. Trebuie ca raportul r = (z_C - z_A) / (z_B - z_A) să fie un număr real.
2. z_C - z_A = 2 + 4i.
3. z_B - z_A = 1 + 2i.
4. r = (2 + 4i) / (1 + 2i) = 2(1 + 2i) / (1 + 2i) = 2.
5. Deoarece 2 este număr real, punctele sunt coliniare.
5. Punctele A(2+i), B(1+4i) și C(5+2i) formează un triunghi isoscel?
Rezolvare:
Calculăm lungimile laturilor:
AB = |(1+4i)-(2+i)| = |-1+3i| = √10.
AC = |(5+2i)-(2+i)| = |3+i| = √10.
Deoarece AB = AC = √10, triunghiul este isoscel.
6. Determinați m ∈ ℝ știind că A(1), B(2+i), C(3+2i) și D(m+i) sunt vârfurile paralelogramului ABCD.
Rezolvare:
1. Condiția: z_A + z_C = z_B + z_D.
2. 1 + (3+2i) = (2+i) + (m+i).
3. 4 + 2i = (2+m) + 2i.
4. Egalăm părțile reale: 4 = 2 + m ⇒ m = 2.
7. Aflați a ∈ ℝ astfel încât punctele A(i), B(1+2i) și C(a+3i) să fie coliniare.
Rezolvare:
1. Raportul (z_C - z_A) / (z_B - z_A) trebuie să fie real.
2. Numărător: a+3i - i = a+2i. Numitor: 1+2i - i = 1+i.
3. (a+2i)/(1+i) = [(a+2i)(1-i)] / 2 = [(a+2) + i(2-a)] / 2.
4. Partea imaginară (2-a) trebuie să fie 0 ⇒ a = 2.
8. Aflați m ∈ ℝ astfel încât vectorul AB să fie perpendicular pe AC, unde A(0), B(1+i), C(m+2i).
Rezolvare:
1. Raportul (z_C - z_A) / (z_B - z_A) trebuie să fie Imaginar Pur (partea reală 0).
2. (m+2i) / (1+i) = [(m+2i)(1-i)] / 2.
3. Numărător: m - mi + 2i - 2i² = (m+2) + i(2-m).
4. Partea reală (m+2) trebuie să fie 0 ⇒ m = -2.
9. Este triunghiul cu vârfurile A(2), B(4+2i), C(2+4i) dreptunghic în A?
Rezolvare:
1. Calculăm raportul vectorilor: (z_C - z_A) / (z_B - z_A).
2. 4i / (2+2i) = 2i / (1+i) = 2i(1-i)/2 = i(1-i) = 1+i.
3. Rezultatul este 1+i, care are parte reală nenulă (1). Deci NU este dreptunghic (trebuia să fie imaginar pur).
10. Se dau A(1+i) și B(3+3i). Determinați m știind că segmentul AB este paralel cu CD, unde C(4) și D(5+mi).
Rezolvare:
1. Raportul diferențelor trebuie să fie Real.
2. u = z_B - z_A = 2+2i. v = z_D - z_C = 1+mi.
3. v/u = (1+mi)/(2+2i). Amplificăm cu conjugatul (2-2i).
4. Numărător: 2 - 2i + 2mi - 2mi² = (2+2m) + i(2m-2).
5. Partea imaginară (2m-2) trebuie să fie 0 ⇒ m = 1.