Recapitulare(cls.9): Geometrie Vectorială pe Coordonate

Material auxiliar pentru interpretarea geometrică a numerelor complexe

Matematică, clasa a 10-a

1. Vectori de poziție și Versori

Notiuni teoretice:

Vectorul de poziție: \(\vec{r_M} = \vec{OM} = x\vec{i} + y\vec{j}\) pentru \(M(x, y)\).

Modulul: \( |\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2} \).

1. Fie punctul \(P(-2, 7)\). Scrie vectorul de poziție \(\vec{OP}\).
\(\vec{OP} = \)
Rezolvare: Coordonatele vectorului de poziție sunt identice cu ale punctului. Dacă \(P(x, y)\), atunci \(\vec{OP} = x\vec{i} + y\vec{j}\). Pentru \(P(-2, 7) \Rightarrow \vec{OP} = -2\vec{i} + 7\vec{j}\).
2. Modulul vectorului de poziție al punctului \(A(6, -8)\) este:
Rezolvare: \(|\vec{OA}| = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\).
3. Află \(a > 0\) știind că lungimea vectorului \(\vec{v} = a\vec{i} + 12\vec{j}\) este 13.
\(a = \)
Rezolvare: \(\sqrt{a^2 + 12^2} = 13 \Rightarrow a^2 + 144 = 169\). \(a^2 = 25 \Rightarrow a = 5\) (deoarece \(a>0\)).
4. Care sunt coordonatele vectorului \(\vec{v} = 5\vec{i}\)?
Rezolvare: Vectorul se scrie complet \(5\vec{i} + 0\vec{j}\), deci coordonatele sunt \((5, 0)\).
5. Calculează modulul vectorului \(\vec{u} = -\sqrt{3}\vec{i} + \vec{j}\).
\(|\vec{u}| = \)
Rezolvare: \(|\vec{u}| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2\).

2. Vectorul AB și Distanța

Notiuni teoretice:

Vectorul: \(\vec{AB} = (x_B - x_A)\vec{i} + (y_B - y_A)\vec{j}\).

Lungimea: \(AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\).

1. Fie \(A(1, 1)\) și \(B(4, 5)\). Află coordonatele \(\vec{AB}\).
\(x = \) , \(y = \)
Rezolvare: \(x = 4 - 1 = 3\).
\(y = 5 - 1 = 4\).
Deci \(\vec{AB}(3, 4)\).
2. Dacă \(\vec{AB} = 3\vec{i} - 4\vec{j}\), care este lungimea segmentului AB?
Rezolvare: \(AB = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9+16} = 5\).
3. Fie \(A(2, 3)\) și \(B(2, m)\). Află \(m > 3\) dacă \(AB = 4\).
\(m = \)
Rezolvare: \(AB = \sqrt{(2-2)^2 + (m-3)^2} = \sqrt{(m-3)^2} = |m-3|\). \(|m-3| = 4\). Cum \(m > 3\), \(m - 3 = 4 \Rightarrow m = 7\).
4. Dacă \(A(2, -1)\) și \(B(5, 3)\), care este vectorul \(\vec{BA}\)?
Rezolvare: \(\vec{BA}\) înseamnă "Coordonate A minus Coordonate B". \(2 - 5 = -3\) și \(-1 - 3 = -4\).
5. Distanța dintre \(M(-3, 2)\) și \(N(3, 10)\) este:
\(MN = \)
Rezolvare: \(MN = \sqrt{(3 - (-3))^2 + (10 - 2)^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36+64} = 10\).

3. Condiția de Paralelism

Notiuni teoretice:

Dacă \(\vec{u} = x_1\vec{i} + y_1\vec{j}\) și \(\vec{v} = x_2\vec{i} + y_2\vec{j}\)

Doi vectori sunt paraleli, dacă au coordonate proporționale: \(\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}\) .

1. Care vector este paralel cu \(\vec{u} = 2\vec{i} + 3\vec{j}\)?
Rezolvare: Verificăm raportul: \(\frac{4}{2} = 2\) și \(\frac{6}{3} = 2\). Rapoartele sunt egale.
2. Află \(m\) dacă \(\vec{a} = (m-1)\vec{i} + 2\vec{j}\) și \(\vec{b} = 3\vec{i} + 4\vec{j}\) sunt coliniari.
\(m = \)
Rezolvare: \(\frac{m-1}{3} = \frac{2}{4} \Rightarrow \frac{m-1}{3} = \frac{1}{2}\). \(2(m-1) = 3 \Rightarrow 2m - 2 = 3 \Rightarrow 2m = 5 \Rightarrow m = 2.5\).
3. Sunt vectorii \(\vec{v_1}(1, -1)\) și \(\vec{v_2}(-3, 3)\) paraleli?
Rezolvare: \(\frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}\) și \(\frac{-1}{3} = -\frac{1}{3}\). Sunt egale.
4. Află \(a\) astfel încât \(\vec{u} = a\vec{i} + 3\vec{j}\) să fie paralel cu axa \(Oy\).
\(a = \)
Rezolvare: Un vector paralel cu Oy (vertical) nu are componentă pe orizontală. Deci \(x = 0 \Rightarrow a = 0\).
5. \(A(1, 2), B(2, 4), C(4, y)\) sunt coliniare. Află \(y\).
\(y = \)
Rezolvare: \(\vec{AB}(1, 2)\) și \(\vec{BC}(2, y-4)\). Condiția: \(\frac{1}{2} = \frac{2}{y-4} \Rightarrow y-4 = 4 \Rightarrow y = 8\).

4. Produsul Scalar și Perpendicularitatea

Notiuni teoretice:

Dacă \(\vec{u} = x_1\vec{i} + y_1\vec{j}\) și \(\vec{v} = x_2\vec{i} + y_2\vec{j}\)

Produs scalar: \(\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2\).

Perpendicularitate: Doi vectori sunt perpendiculari, dacă produsul lor scalar este 0.

1. Calculează \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) pentru \(\vec{u}(2, -1)\) și \(\vec{v}(-3, 2)\).
Rezultat:
Rezolvare: \(2 \cdot (-3) + (-1) \cdot 2 = -6 - 2 = -8\).
2. Află \(a\) dacă \(\vec{v_1}(a, 3)\) și \(\vec{v_2}(4, -6)\) sunt perpendiculari.
\(a = \)
Rezolvare: \(a \cdot 4 + 3 \cdot (-6) = 0 \Rightarrow 4a - 18 = 0 \Rightarrow 4a = 18 \Rightarrow a = 4.5\).
3. Care pereche de vectori este perpendiculară?
Rezolvare: La varianta B: \(3 \cdot 1 + (-1) \cdot 3 = 3 - 3 = 0\).
4. Dacă \(\vec{u} = 3\vec{i} + 4\vec{j}\), calculează \(\vec{u} \cdot \vec{u}\).
Rezultat:
Rezolvare: \(3 \cdot 3 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25\). (Este pătratul modulului).
5. Află \(m\) dacă \(\vec{a}(m, 2)\) și \(\vec{b}(3, -6)\) sunt perpendiculari.
\(m = \)
Rezolvare: \(3m + 2(-6) = 0 \Rightarrow 3m - 12 = 0 \Rightarrow 3m = 12 \Rightarrow m = 4\).

5. Mijlocul unui segment și Condiția ca 4 puncte să formeze un paralelogram

Notiuni teoretice:

Mijlocul segmentului AB: \(x_M = \frac{x_A+x_B}{2}, y_M = \frac{y_A+y_B}{2}\).

Condiția ca 4 puncte să formeze un paralelogram: Diagonalele se înjumătățesc: \(x_A+x_C = x_B+x_D\) și \(y_A+y_C = y_B+y_D\).

1. Mijlocul segmentului \(AB\) unde \(A(-2, 4)\) și \(B(6, -2)\) este \(M(x, y)\).
\(x = \) , \(y = \)
Rezolvare: \(x = (-2+6)/2 = 2\).
\(y = (4-2)/2 = 1\).
2. \(A(1, 1), B(3, 2), C(4, 5)\). Află \(D\) pentru paralelogramul ABCD.
\(D(\) , \()\)
Rezolvare: \(x_A+x_C = x_B+x_D \Rightarrow 1+4 = 3+x_D \Rightarrow 5 = 3+x_D \Rightarrow x_D = 2\).
\(y_A+y_C = y_B+y_D \Rightarrow 1+5 = 2+y_D \Rightarrow 6 = 2+y_D \Rightarrow y_D = 4\).
3. Se consideră \(A(1, 2)\), \(B(4, 4)\) și \(C(6, m)\). Patrulaterul \(ABCD\) este paralelogram (în ordinea vârfurilor \(A-B-C-D\)). Aflați \(m\) știind că vârful \(D\) se află pe axa \(Ox\).
\(m = \)
Rezolvare: Fiind paralelogramul \(ABCD\), diagonalele sunt \(AC\) și \(BD\).
Mijloacele diagonalelor coincid: \(y_A + y_C = y_B + y_D\).
Deoarece \(D \in Ox \Rightarrow y_D = 0\).
Ecuația: \(2 + m = 4 + 0 \Rightarrow m = 2\).
4. Dacă \(M(3, 3)\) este mijlocul lui \([AB]\) și \(A(1, 1)\), află \(B\).
\(B(\) , \()\)
Rezolvare: \(x_M = (x_A+x_B)/2 \Rightarrow 3 = (1+x_B)/2 \Rightarrow 6 = 1+x_B \Rightarrow x_B = 5\).
Analog, \(y_B = 5\).
5. Paralelogram \(ABCD\): \(A(0,0), B(1,2), C(3,3)\). Cât este \(x_D + y_D\)?
Răspuns:
Rezolvare: \(x_D = x_A+x_C-x_B = 0+3-1 = 2\).
\(y_D = y_A+y_C-y_B = 0+3-2 = 1\).
Suma: \(2+1=3\).

6. Centrul de greutate al triunghiului

Notiuni teoretice:

\(G(\frac{x_A+x_B+x_C}{3}, \frac{y_A+y_B+y_C}{3})\)

1. \(A(2,0), B(0,4), C(4,5)\). Află \(G(x, y)\).
\(G(\) , \()\)
Rezolvare: \(x = (2+0+4)/3 = 6/3 = 2\).
\(y = (0+4+5)/3 = 9/3 = 3\).
2. \(A(-2, 3), B(5, -1), C(m, n)\). Află \(m, n\) dacă \(G\) este originea.
\(m = \) , \(n = \)
Rezolvare: Media trebuie să fie 0.
\(-2+5+m=0 \Rightarrow 3+m=0 \Rightarrow m=-3\).
\(3-1+n=0 \Rightarrow 2+n=0 \Rightarrow n=-2\).
3. \(G(1, 1)\) este centru de greutate. \(A(2, 2), B(2, -2)\). Află \(C\).
\(C(\) , \()\)
Rezolvare: \(1 = (2+2+x_C)/3 \Rightarrow 3 = 4+x_C \Rightarrow x_C = -1\).
\(1 = (2-2+y_C)/3 \Rightarrow 3 = 0+y_C \Rightarrow y_C = 3\).
4. Care este abscisa \(x_G\) pentru \(\triangle OAB\) cu \(O(0,0), A(6,0), B(0,9)\)?
Rezolvare: \(x_G = (0+6+0)/3 = 2\).
5. \(A(-1, -1), B(3, 3), C(4, -2)\). Află distanța \(OG\).
\(OG = \)
Rezolvare: \(x_G = (-1+3+4)/3 = 2\). \(y_G = (-1+3-2)/3 = 0\).
\(G(2, 0) \Rightarrow OG = \sqrt{2^2+0^2} = 2\).