Recapitulare: Forma Algebrică a Numerelor Complexe

Secțiunea 1

Operații și Conjugatul unui număr complex

Breviar Teoretic Fie \( z = a+bi \), cu \( a,b \in \mathbb{R} \).

Conjugatul: \( \bar{z} = a-bi \)
Modulul: \( |z| = \sqrt{a^2+b^2} \)
Inversul: \( z^{-1} = \frac{\bar{z}}{|z|^2} = \frac{a-bi}{a^2+b^2} \)

Exercițiu Rezolvat

Fie \( z = 3 + 4i \). Să se calculeze:
a) \( z + \bar{z} \)
b) \( w = \frac{5}{z} \).

a) \( z + \bar{z} = (3+4i) + (3-4i) = 6 \) (parte reală dublă).

b) Amplificăm fracția cu conjugatul \( \bar{z} = 3-4i \):
\( w = \frac{5(3-4i)}{3^2+4^2} = \frac{5(3-4i)}{25} = \frac{3-4i}{5} = \frac{3}{5} - \frac{4}{5}i \).

PROBLEME PROPUSE

1. Determinați \( x, y \in \mathbb{R} \) astfel încât \( (1+2i)x + (3-5i)y = 1+i \).

\( x = \frac{8}{11}, y = \frac{1}{11} \).

2. Calculați inversul numărului \( z = (1-i)^2 \).

Inversul este \( \frac{i}{2} \).

3. Calculați suma \( S = i + i^2 + i^3 + i^4 + i^5 \).

\( S = i^5 = i \).

4. Efectuați calculul: \( P = (3+2i)(3-2i) - (1+i)(1-i) \).

\( 13 - 2 = 11 \).

5. Rezolvați în mulțimea numerelor complexe ecuația \( 2z + \bar{z} = 3 + 4i \).

Fie \( z = a+bi \). Ecuația devine \( 2(a+bi) + (a-bi) = 3+4i \Rightarrow 3a + bi = 3+4i \).
Egalând părțile obținem \( a=1, b=4 \). Deci \( z=1+4i \).

Secțiunea 2

Proprietățile Modulului unui Număr Complex

Breviar Teoretic Pentru orice \( z, z_1, z_2 \in \mathbb{C} \):

\( |z| \ge 0 \), cu \( |z|=0 \iff z=0 \)
\( |z| = |-z| = |\bar{z}| = |-\bar{z}| \)
\( z \cdot \bar{z} = |z|^2 \)
\( |z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2| \)
\( |z^n| = |z|^n, \forall n \in \mathbb{N}^* \)
\( \left| \frac{z_1}{z_2} \right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}, z_2 \neq 0 \)
Inegalitatea triunghiului: \( |z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2| \)

Exercițiu Rezolvat

Calculați modulul numărului \( Z = \frac{(1+i)^{10}}{(1-i\sqrt{3})^6} \).

Folosim proprietățile modulului:

1. \( |1+i| = \sqrt{2} \Rightarrow |(1+i)^{10}| = (\sqrt{2})^{10} = 2^5 = 32 \).

2. \( |1-i\sqrt{3}| = 2 \Rightarrow |numitor| = 2^6 = 64 \).

Rezultat final: \( |Z| = \frac{32}{64} = \frac{1}{2} \).

PROBLEME PROPUSE

1. Arătați că dacă \( |z|=1 \), atunci \( \bar{z} = \frac{1}{z} \).

Din \( z \cdot \bar{z} = |z|^2 \) și \( |z|=1 \), rezultă \( z \cdot \bar{z} = 1 \).

2. Determinați \( z \in \mathbb{C} \) știind că \( z + |z| = 2 + 8i \).

\( z = -15+8i \).

3. Calculați modulul numărului \( z = (3+4i)(1-i) \).

\( |z| = |3+4i| \cdot |1-i| = 5 \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2} \).

4. Arătați că \( |z_1+z_2|^2 + |z_1-z_2|^2 = 2(|z_1|^2+|z_2|^2) \).

Se folosește formula \( |w|^2 = w \cdot \bar{w} \). Calcul direct: \( (z_1+z_2)(\bar{z}_1+\bar{z}_2) + ... \) .

5. Determinați modulul lui \( Z \) dacă \( Z = \frac{2+i}{2-i} + \frac{2-i}{2+i} \).

Numărul este suma unui complex cu conjugatul său, deci este real.
Calcul: \( \frac{(2+i)^2 + (2-i)^2}{5} = \frac{3+4i+3-4i}{5} = \frac{6}{5} \). Modulul este \( 6/5 \).

Secțiunea 3

Ecuații de gradul II și Relațiile lui Viète

Breviar Teoretic Pentru \( ax^2+bx+c=0 \) cu \(\Delta < 0\):

Rădăcinile sunt conjugate: \( x_{1,2} = \frac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a} \)
Viète: \( x_1+x_2 = -\frac{b}{a} \), \( x_1 x_2 = \frac{c}{a} \)

Exercițiu Rezolvat

Fără a rezolva ecuația \( x^2 - 4x + 13 = 0 \), calculați \( E = \frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} \).

\( S=4, P=13 \).

\( E = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1 x_2} = \frac{S^2 - 2P}{P} = \frac{16 - 26}{13} = -\frac{10}{13} \).

PROBLEME PROPUSE

1. Formați ecuația de gradul II cu coeficienți reali care are rădăcina \( x_1 = 3 - 5i \).

Rădăcinile sunt \( 3 \pm 5i \). \( S=6, P=34 \). Ecuația: \( x^2 - 6x + 34 = 0 \).

2. Rezolvați în \( \mathbb{C} \) ecuația \( x^2 - 2x + 4 = 0 \).

\( \Delta = -12 \). Soluții: \( 1 \pm i\sqrt{3} \).

3. Pentru ecuația \( x^2 + x + 1 = 0 \), calculați \( x_1^3 + x_2^3 \).

Rădăcinile sunt rădăcini de ordin 3 ale unității. \( x_1^3 = 1, x_2^3 = 1 \). Suma este 2.

4. Aflați \( m \in \mathbb{R} \) pentru ecuația \( x^2 + mx + 4 = 0 \) știind că \( x_1 = 2x_2 \).

Din \( P=4 \) și \( x_1=2x_2 \Rightarrow 2x_2^2=4 \Rightarrow x_2^2=2 \Rightarrow x_2 = \pm \sqrt{2} \).
\( S = -m = 3x_2 = \pm 3\sqrt{2} \Rightarrow m = \mp 3\sqrt{2} \).

5. Calculați \( \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} \) pentru rădăcinile ecuației \( x^2 - 6x + 10 = 0 \).

\( \frac{x_1+x_2}{x_1x_2} = \frac{S}{P} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \).

Secțiunea 4

Rădăcinile de ordin 3 ale unității

Breviar Teoretic Fie \( \varepsilon \) o rădăcină complexă a ecuației \( x^2+x+1=0 \).

\( \varepsilon^3 = 1 \)
\( \varepsilon^2 + \varepsilon + 1 = 0 \Rightarrow \varepsilon^2 + \varepsilon = -1 \)

Exercițiu Rezolvat

Calculați \( (1+\varepsilon)(1+\varepsilon^2) \).

\( (1+\varepsilon)(1+\varepsilon^2) = (-\varepsilon^2)(-\varepsilon) = \varepsilon^3 = 1 \).

PROBLEME PROPUSE

1. Calculați \( S = 1 + \varepsilon + \dots + \varepsilon^{20} \).

Suma este 0 (grupăm câte 3 termeni consecutivi).

2. Rezolvați sistemul \( x+y=1, xy=1 \).

\( \{ (-\varepsilon, -\varepsilon^2) \} \).

3. Calculați valoarea produsului \( (1+2\varepsilon)(1+2\varepsilon^2) \).

\( 1 + 2\varepsilon^2 + 2\varepsilon + 4\varepsilon^3 = 1 + 2(\varepsilon^2+\varepsilon) + 4 = 5 + 2(-1) = 3 \).

4. Calculați \( \varepsilon + \frac{1}{\varepsilon} \).

\( \frac{\varepsilon^2+1}{\varepsilon} = \frac{-\varepsilon}{\varepsilon} = -1 \).

5. Să se calculeze \( \frac{1}{1+\varepsilon} + \frac{1}{1+\varepsilon^2} \).

Numitor comun: \( (1+\varepsilon)(1+\varepsilon^2) = 1 \). Numărător: \( 1+\varepsilon^2 + 1+\varepsilon = 2 + (\varepsilon^2+\varepsilon) = 2-1=1 \). Rezultat: 1.

Secțiunea 5

Ecuații Bipătrate

Metodă de lucru Pentru \( ax^4 + bx^2 + c = 0 \):

Substituție \( x^2 = t \). Rezolvă ecuația în \( t \).
Rezolvă \( x^2 = t_1 \) și \( x^2 = t_2 \).

Exercițiu Rezolvat

Rezolvați: \( x^4 - 6x^2 + 25 = 0 \).

\( t_{1,2} = 3 \pm 4i \).

Din \( x^2 = 3+4i \) obținem \( x \in \{ 2+i, -2-i \} \).

Din \( x^2 = 3-4i \) obținem \( x \in \{ 2-i, -2+i \} \).

PROBLEME PROPUSE

1. Rezolvați \( x^4 + 16 = 0 \).

\( \pm \sqrt{2}(1 \pm i) \).

2. Rădăcinile pătrate ale lui \( -3 + 4i \).

\( \{ 1+2i, -1-2i \} \).

3. Rezolvați ecuația bipătrată \( x^4 - x^2 - 20 = 0 \).

Notăm \( x^2=t \). \( t^2-t-20=0 \). \( t_1=5, t_2=-4 \).
Soluții: \( \pm \sqrt{5}, \pm 2i \).

4. Determinați rădăcinile pătrate ale numărului complex \( z = 3 - 4i \).

Rezolvând sistemul \( a^2-b^2=3, 2ab=-4 \) obținem \( \{ 2-i, -2+i \} \).

5. Rezolvați ecuația \( x^4 + 13x^2 + 36 = 0 \).

\( t^2+13t+36=0 \Rightarrow (t+4)(t+9)=0 \). \( t \in \{-4, -9\} \).
Soluții: \( \{\pm 2i, \pm 3i\} \).