Fișă de lucru - autoevaluare - POLINOAME

Topic: Împărțire, Schema Horner, Divizibilitate, Teorema lui Bézout, determinare parametri, polinoame cu coeficienți în clase de resturi și numere complexe.
Clasa a XII-a • Algebră Superioară

Rezolvă cu atenție și apasă butonul de la final pentru a afla scorul și explicațiile pas cu pas!
1. Fie polinomul f = X3 - 2X2 + X + 1. Care este restul împărțirii lui f la X - 2?
Explicație: Conform Teoremei lui Bézout, restul este f(2) = 23 - 2(22) + 2 + 1 = 8 - 8 + 2 + 1 = 3.
2. Se dă f = X3 + mX2 - 2X + 4. Știind că restul împărțirii lui f la X - 1 este 5, care este restul împărțirii lui f la X + 2?
Explicație: Din f(1) = 5 obținem 1 + m - 2 + 4 = 5, deci m = 2. Apoi calculăm f(-2) = (-2)3 + 2(-2)2 - 2(-2) + 4 = -8 + 8 + 4 + 4 = 8.
3. Află valoarea parametrului real "a" știind că f = X3 - 3X2 + aX + 6 este divizibil cu X - 3.
Explicație: Condiția de divizibilitate este f(3) = 0. Avem 27 - 27 + 3a + 6 = 0, ceea ce duce la 3a = -6, adică a = -2.
4. Folosind schema lui Horner (sau împărțirea clasică) pentru f = 2X3 - X2 + 4X - 5 împărțit la X - 1, determină coeficientul lui X din câtul obținut.
Explicație: Câtul obținut este 2X2 + X + 5. Coeficientul lui X (termenul de gradul 1) este 1.
5. Un polinom f dă restul 2 la împărțirea cu X - 1 și restul 5 la împărțirea cu X - 2. Care este restul împărțirii lui f la (X - 1)(X - 2)?
Explicație: Restul are forma aX + b. Din f(1)=2 avem a+b=2, iar din f(2)=5 avem 2a+b=5. Scăzând ecuațiile obținem a=3 și b=-1. Restul este 3X - 1.
6. Fie f = X10 + X5 + 1. Care este restul împărțirii lui f la X2 + 1?
Explicație: Rădăcinile divizorului sunt i și -i. Evaluăm f(i) = i10 + i5 + 1 = -1 + i + 1 = i. Restul R(X)=aX+b dă R(i)=ai+b=i, deci a=1, b=0. Restul este X.
7. Polinomul f = X3 + mX2 + nX + 2 se divide cu X2 - 3X + 2. Care este valoarea produsului m · n?
Explicație: Divizorul este (X-1)(X-2). Din f(1)=0 ⇒ m+n=-3. Din f(2)=0 ⇒ 4m+2n=-10. Rezolvând sistemul obținem m=-2 și n=-1. Produsul este 2.
8. În inelul Z5[X], se dă f = 2̂X3 + 4̂X2 + 1̂. Care este restul împărțirii lui f la X + 2̂?
Explicație: Rădăcina este -2̂ = 3̂. Mai simplu, f(-2̂) = 2̂(-8̂) + 4̂(4̂) + 1̂ = -16̂ + 16̂ + 1̂ = 1̂. În Z5 calculele se păstrează modulo 5.
9. Considerăm f = X3 + aX + 5̂ din Z7[X]. Dacă se știe că f(2̂) = 0̂, determină parametrul "a".
Explicație: 2̂3 + 2̂a + 5̂ = 0̂ ⇒ 8̂ + 2̂a + 5̂ = 0̂. Cum 8̂=1̂, rezultă 2̂a + 6̂ = 0̂ ⇒ 2̂a = 1̂. Inversul lui 2̂ în Z7 este 4̂, așadar a = 4̂.
10. Fie polinomul cu coeficienți complecși f = X2 - (1+i)X + i. Calculează f(1).
Explicație: Înlocuind direct cu 1: f(1) = 12 - (1+i)·1 + i = 1 - 1 - i + i = 0. (Se observă că 1 este chiar rădăcină a polinomului).
11. Care este restul împărțirii polinomului f = X100 la polinomul g = X3 - X?
Explicație: g(X) are rădăcinile 0, 1, -1. Restul R(X)=aX2+bX+c. R(0)=0 ⇒ c=0. R(1)=1 ⇒ a+b=1. R(-1)=1 ⇒ a-b=1. Din ultimele două obținem a=1, b=0. Restul este X2.
12. Polinomul f = X4 + aX2 + b se divide cu (X - 1)2. Care este valoarea expresiei a2 + b2?
Explicație: Deoarece X=1 este rădăcină dublă, avem f(1)=0 și f'(1)=0 (derivata). 1+a+b=0 și 4+2a=0. Rezultă a=-2 și b=1. Deci a2 + b2 = (-2)2 + 12 = 5.
13. Fie f = X3 + aX2 + bX - 1. La împărțirea cu X - 1 dă restul 0, iar la X + 1 dă restul -4. Calculează f(2).
Explicație: f(1)=0 ⇒ a+b=0. f(-1)=-4 ⇒ a-b=-2. Rezolvând, obținem a=-1, b=1. Polinomul este X3 - X2 + X - 1. Înlocuind, f(2) = 8 - 4 + 2 - 1 = 5.
14. Polinomul P(X) = X4 + mX3 + 2X2 + nX - 3 dă același rest la X - 1 și la X + 1. Care este valoarea sumei parametrilor, m + n?
Explicație: Din P(1) = P(-1) rezultă 1 + m + 2 + n - 3 = 1 - m + 2 - n - 3. Termenii de grad par se reduc și rămâne m + n = -m - n, adică 2(m+n) = 0, deci m+n = 0.
15. Fie f = X3 - 3X2 + aX + b. Dacă f se divide cu polinomul X2 - 4, calculează suma a + b.
Explicație: X2 - 4 = (X-2)(X+2). Avem f(2)=0 ⇒ 2a+b=4 și f(-2)=0 ⇒ -2a+b=20. Adunând ecuațiile: 2b=24 ⇒ b=12. Scăzând: 4a=-16 ⇒ a=-4. Suma a+b = -4 + 12 = 8.
16. În inelul Z3[X], se consideră polinomul f = 2̂X3 + aX + 1̂. Dacă f(1̂) = 0̂, află parametrul a.
Explicație: f(1̂) = 2̂(1̂)3 + a(1̂) + 1̂ = 2̂ + a + 1̂ = a + 3̂. Deoarece lucrăm în Z3, avem 3̂ = 0̂. Deci ecuația devine a + 0̂ = 0̂, de unde rezultă a = 0̂.
17. Care este restul împărțirii polinomului f = X2024 + X2 + 1 la polinomul X + 1?
Explicație: Folosind Teorema lui Bézout, restul este valoarea polinomului în punctul -1: f(-1) = (-1)2024 + (-1)2 + 1 = 1 + 1 + 1 = 3.
18. Determină restul împărțirii polinomului f = X4 + 2X3 - X2 + 5 la polinomul g = X2 + X.
Explicație: Divizorul este X(X+1) cu rădăcinile 0 și -1. Restul va fi de forma R(X) = mX + n. Avem R(0) = f(0) ⇒ n = 5 și R(-1) = f(-1) ⇒ -m+n = 1-2-1+5 = 3. De aici, -m+5=3 ⇒ m=2. Restul este 2X+5.
19. Fie polinomul cu coeficienți complecși f = X3 - X2 + X - 1. Cât este valoarea lui f(i), unde i2 = -1?
Explicație: f(i) = i3 - i2 + i - 1 = -i - (-1) + i - 1 = -i + 1 + i - 1 = 0. Numărul complex 'i' este, de fapt, o rădăcină a acestui polinom.
20. Fie câtul q(X) obținut prin împărțirea lui f = 3X4 - 2X3 + X - 2 la X + 1. Care este suma coeficienților polinomului q(X)?
Explicație: Suma coeficienților oricărui polinom se obține calculând q(1). Din teorema împărțirii: f(X) = q(X)(X+1) + R. Restul R = f(-1) = 3+2-1-2 = 2. Înlocuind X cu 1: f(1) = q(1)(2) + 2. Dar f(1) = 3-2+1-2 = 0. Deci 0 = 2q(1) + 2, de unde q(1) = -1.